有限数学示例

$f (x) = 10 x^{3}$

解题步骤 1

将 $f (x) = 10 x^{3}$ 写为等式。

$y = 10 x^{3}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = 10 y^{3}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $10 y^{3} = x$ 。

$10 y^{3} = x$

解题步骤 3.2

将 $10 y^{3} = x$ 中的每一项除以 $10$ 并化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $10 y^{3} = x$ 中的每一项都除以 $10$ 。

$\frac{10 y^{3}}{10} = \frac{x}{10}$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去 $10$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{10 y^{3}}{10} = \frac{x}{10}$

解题步骤 3.2.2.1.2

用 $y^{3}$ 除以 $1$ 。

$y^{3} = \frac{x}{10}$

解题步骤 3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{10}}$

解题步骤 3.4

化简 $\sqrt[3]{\frac{x}{10}}$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $\sqrt[3]{\frac{x}{10}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{10}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{10}}$

解题步骤 3.4.2

将 $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{10}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{10}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{2}}$

解题步骤 3.4.3

合并和化简分母。

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解题步骤 3.4.3.1

将 $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{10}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{10}}^{2}}$

解题步骤 3.4.3.2

对 $\sqrt[3]{10}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{1} {\sqrt[3]{10}}^{2}}$

解题步骤 3.4.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{1 + 2}}$

解题步骤 3.4.3.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{3}}$

解题步骤 3.4.3.5

将 ${\sqrt[3]{10}}^{3}$ 重写为 $10$ 。

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解题步骤 3.4.3.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{10}$ 重写成 $10^{\frac{1}{3}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{(10^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 3.4.3.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 3.4.3.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 3.4.3.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.3.5.4.1

约去公因数。

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 3.4.3.5.4.2

重写表达式。

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{1}}$

解题步骤 3.4.3.5.5

计算指数。

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10}$

解题步骤 3.4.4

化简分子。

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解题步骤 3.4.4.1

将 ${\sqrt[3]{10}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{10^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{10^{2}}}{10}$

解题步骤 3.4.4.2

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{100}}{10}$

解题步骤 3.4.5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 3.4.5.1

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \frac{\sqrt[3]{x \cdot 100}}{10}$

解题步骤 3.4.5.2

将 $\frac{\sqrt[3]{x \cdot 100}}{10}$ 中的因式重新排序。

$y = \frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$ 是否为 $f (x) = 10 x^{3}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (10 x^{3})$ 。

$f^{- 1} (10 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{100 (10 x^{3})}}{10}$

解题步骤 5.2.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $100$ 乘以 $10$ 。

$f^{- 1} (10 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{1000 x^{3}}}{10}$

解题步骤 5.2.3.2

将 $1000 x^{3}$ 重写为 ${(10 x)}^{3}$ 。

$f^{- 1} (10 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{{(10 x)}^{3}}}{10}$

解题步骤 5.2.3.3

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f^{- 1} (10 x^{3}) = \frac{10 x}{10}$

解题步骤 5.2.4

约去 $10$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (10 x^{3}) = \frac{10 x}{10}$

解题步骤 5.2.4.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (10 x^{3}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10})$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 {(\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10})}^{3}$

解题步骤 5.3.3

对 $\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{{\sqrt[3]{100 x}}^{3}}{10^{3}})$

解题步骤 5.3.4

将 ${\sqrt[3]{100 x}}^{3}$ 重写为 $100 x$ 。

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解题步骤 5.3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{100 x}$ 重写成 ${(100 x)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{{({(100 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{10^{3}})$

解题步骤 5.3.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{{(100 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{10^{3}})$

解题步骤 5.3.4.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{{(100 x)}^{\frac{3}{3}}}{10^{3}})$

解题步骤 5.3.4.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.4.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{{(100 x)}^{\frac{3}{3}}}{10^{3}})$

解题步骤 5.3.4.4.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{100 x}{10^{3}})$

解题步骤 5.3.4.5

化简。

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{100 x}{10^{3}})$

解题步骤 5.3.5

对 $10$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{100 x}{1000})$

解题步骤 5.3.6

约去 $10$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.6.1

从 $1000$ 中分解出因数 $10$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{100 x}{10 (100)})$

解题步骤 5.3.6.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{100 x}{10 \cdot 100})$

解题步骤 5.3.6.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = \frac{100 x}{100}$

解题步骤 5.3.7

约去 $100$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.7.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = \frac{100 x}{100}$

解题步骤 5.3.7.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$ 为 $f (x) = 10 x^{3}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$

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